Mencari nilai parameter a dan b pada cubic EOS

Oleh: Muflih Arisa Adnan

Sebelumnya kita sudah berdiskusi tentang persamaan keadaan secara umum (bila belum baca artikel sebelumnya silakan klik di sini). Cubic EOS yang paling tua adalah van der Waals equation, lalu setelah itu berkembang banyak sekali cubic EOS lainnya seperti Peng-Robinson, Redlich-Kwong, dll. Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa cubic EOS ini merupakan modifikasi dari persamaan gas ideal.

Kita tahu bahwa persamaan gas ideal berbentuk seperti ini,

01 Persamaan gas ideal

Dan van der Waals memiliki persamaan seperti ini

02 van Der Waals Equation

Bila kita anggap parameter a dan b bernilai nol maka persamaan van der Waals akan kembali menjadi persamaan gas ideal. Pertanyaan muncul, bagaimana cara mendapatkan nilai parameter a dan b?

Pada kasus ini kita memiliki dua variabel tak diketahui, yaitu a dan b. Secara matematika (atau istilah lainnya derajat kebebasan/degree of freedom), untuk mencari nilai dua variabel tak diketahui kita membutuhkan dua persamaan. Sejauh ini kita hanya memiliki satu persamaan, yaitu persamaan van der Waals. Jadi kita masih kekurangan satu persamaan.

Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita memerlukan data eksperimen sehingga kita bisa mendapatkan grafik tekanan (P) versus volume molar (V). Diagram PV akan berbentuk kurang lebih seperti ini.

03 PV diagram

Pada gambar di atas dapat kita lihat bahwa titik kritis berada di puncak grafik. Itu berati secara matematik kita dapat menuliskannya seperti ini

03a dpdv

Dari dua turunan di atas kita sekarang sudah memiliki tiga persamaan, yaitu persamaan van der Waals, turunan pertama dari van der Waals terhadap V, dan turunan keduanya. Perlu diperhatikan bahwa ketiga persamaan tersebut berada pada kondisi kritis sehingga P, T dan V yang kita gunakan dalam kondisi kritis (Pc,Tc dan Vc).

Pada kali ini kita menggunakan persamaan van der Waals untuk dijadikan sebagai contoh. Berikut ini adalah tiga persamaan yang kita miliki.

04 Persamaan critical point

Kalau persamaan yang kita miliki cukup sederhana, seperti van der Waals, kita masih bisa menggunakan cara “konvensional”. Kita ambil dua persamaan (direkomendasikan dua persamaan terakhir, persamaan (2) dan (3)) lalu kita gunakan metode eliminasi dan substitusi secara manual hingga kita memperoleh nilai parameter a dan b.

Pada kenyataannya, cubic EOS yang sederhana itu sangat sedikit. Semakin modern, cubic EOS semakin kompleks. Oleh karena itu kita membutuhkan suatu trik khusus untuk mempermudah menyelesaikan persamaannya.

Semakin modern perkembangan komputer semakin pesat. Perkembangan software kalkulasi juga berkembang pesat. Saat ini kita bisa menggunakan Fortran, Matlab, Mathematica, dll untuk mencari nilai parameter a dan b pada EOS.

Ide dasar dari trik khusus ini adalah menyederhanakan parameter yang terlibat dalam kalkulasi sehingga komputer lebih mudah menyelesaikan persamaannya. Kita akan mengubah lima variabel yaitu P, T, V, a dan b menjadi tiga variabel tak berdimensi yaitu alpha, beta dan Zc. Berikut adalah cara mendefinisikan variabel tak berdimensi:

  1. Definisi alpha

Kita lihat persamaan yang kita punya, kita lihat pada bagian attractive term. Ambil attractive term (abaikan tanda minus)

05 Definisi alpha

Variabel alpha berubah mengikuti attractive term persamaan keadaan.

  1. Definisi beta

Apapun persamaannya, beta selalu difenisikan sebagai berikut:

06 Definisi beta

  1. Definisi Zc

Sama seperti beta, apapun persamaannya, definisi Zc adalah sebagai berikut

07 Definisi zc

Substitusikan ketiga definisi tadi ke persamaan (1), (2) dan (3) hingga akhirnya kita mendapatkan tiga persamaan dengan tiga variabel tak diketahui sebagaimana berikut.

08 Final equation

Dengan menyelesaikan ketiga persamaan di atas, kita mendapatkan nilai alpha, beta dan Zc.

09 solving result

Kita substitusikan persamaan (7) s.d. (9) ke definisi variabel tak berdimensi sehingga didapatkan nilai a dan b.

09a Result

Trik di atas sangat ampuh untuk mencari nilai parameter a dan b pada cubic EOS. Tidak peduli serumit apapun persamaannya, trik di atas telah terbukti ampuh. Trik ini akan sangat bermanfaat karena EOS terus berkembang semakin rumit.

Berikut adalah lampiran kode matlab untuk menyelesaikan kasus van der Walls

  1. Mencari turunan pertama dan turunan kedua dari EOS)

10 Matlab 1

  1. Menyederhanakan EOS dan turunannya menjadi hanya tiga variabel, α, β dan Zc

11 Matlab 2

  1. Menyesaikan tiga persamaan dengan tiga variabel

12 Matlab 3

  1. Substitusi nilai α, β dan Zc yang sudah diperoleh ke dalam definisi variabel tak berdimensi

13 matlab 4

Akhir kita dapatkan bahwa

14 matlab 5

Di atas kasur

Student housing 808-201

KFUPM

Dhahran, Eastern Province, KSA

27 Desember 2015

11.20 pm

Leave a Comment